Diketahuisistem persamaan tiga variabel berikut: ⎩⎨⎧ x+12 + yβˆ’32 + z+23 = 2 (1) x+1βˆ’4 + yβˆ’31 + z+26 = 5 (2) x+14 + yβˆ’33 + z+23 = 2 (3) Iklan PN P. Nur Master Teacher Jawaban terverifikasi Pembahasan Ingat bahwa persamaan linear adalah persamaan yang mengandung variabel berpangkat satu.
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV merupakan salah satu materi matematika wajib / peminatan yang dipelajari saat tingkat SMA, tepatnya di kelas X. Materi ini sebenarnya merupakan lanjutan dari materi SPLDV yang sudah dipelajari saat tingkat SMP. Oleh karenanya, pembaca disarankan sudah menguasai metode penyelesaian SPLDV terlebih dahulu. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV diartikan sebagai kumpulan persamaan linear yang memuat tiga variabel dengan bentuk umum $$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{cases}$$ Untuk memantapkan pemahaman tentang materi SPLTV ini, berikut disajikan sejumlah soal beserta pembahasannya dengan tipe berupa soal ingatan dan pemahaman soal noncerita. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut Download PDF, 145 KB. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Sistem Persamaan Linear Dua Variabel SPLDV Baca Juga Soal dan Pembahasan – Soal Cerita Aplikasi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV Quote by Ki Hajar Dewantara Jadikan setiap tempat sebagai sekolah dan jadikan setiap orang sebagai guru. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Perhatikan beberapa sistem persamaan linear berikut. $1$. $\begin{cases} 4x+y+z & = y-2 \\ 3x+2z & = 2y \\ 3y+z & = 0 \end{cases}$ $2$. $\begin{cases} x-y+4 & = 4 \\ 10x-2y+2 & = z+2 \\ 6x-y & = 2y \end{cases}$ $3$. $\begin{cases} 5y+3z+2 & = x+2 \\ 2y-5z & = 0 \\ 13y-z+100 & = 100 \end{cases}$ $4$. $\begin{cases} 10-x+z & = 5y+10 \\ 5x+3y & = 2z+5 \\ 7x+y+11z & = 0 \end{cases}$ Sistem persamaan linear homogen ditunjukkan oleh nomor $\cdots \cdot$ A. $1, 2$, dan $3$ B. $1, 2$, dan $4$ C. $1$ dan $3$ D. $2$ dan $3$ E. $2$ dan $4$ Pembahasan Sistem persamaan linear homogen adalah sistem persamaan linear yang masing-masing persamaannya berkonstanta $0$. Bentuk umumnya adalah $\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = 0 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = 0 \end{cases}$ Analisis SPL nomor $1$ $\begin{cases} 4x+y+z & = y-2 \\ 3x+2z & = 2y \\ 3y+z & = 0 \end{cases}$ Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya. $\begin{cases} 4x+z& = -2 && \cdots 1 \\ 3x-2y+2z & = 0 && \cdots 2 \\ 3y+z & = 0 && \cdots 3 \end{cases}$ Tampak bahwa persamaan $1$ memuat konstanta $-2$ sehingga SPL tersebut tidak homogen. Analisis SPL nomor $2$ $\begin{cases} x-y+4 & = 4 \\ 10x-2y+2 & = z+2 \\ 6x-y & = 2y \end{cases}$ Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya. $\begin{cases} x-y & = 0 \\ 10x-2y-z & = 0 \\ 6x-3y& = 0 \end{cases}$ SPL di atas homogen karena seluruh persamaannya berkonstanta $0$. Analisis SPL nomor $3$ $\begin{cases} 5y+3z+2 & = x+2 \\ 2y-5z & = 0 \\ 13y-z+100 & = 100 \end{cases}$ Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya. $\begin{cases} -x+5y+3z & = 0 \\ 2y-5z & = 0 \\ 13y-z& =0 \end{cases}$ SPL di atas homogen karena seluruh persamaannya berkonstanta $0$. Analisis SPL nomor $4$ $\begin{cases} 10-x+z & = 5y+10 \\ 5x+3y & = 2z+5 \\ 7x+y+11z & = 0 \end{cases}$ Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya. $\begin{cases} -x-5y+z & = 0 && \cdots 1 \\ 5x+3y-2z & = 5 && \cdots 2 \\ 7x+y+11z & = 0 && \cdots 3 \end{cases}$ Tampak bahwa persamaan $2$ memuat konstanta $5$ sehingga SPL tersebut tidak homogen. Jadi, sistem persamaan linear homogen ditunjukkan oleh nomor $2$ dan $3$. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 2 Sistem persamaan linear tiga variabel yang tidak mempunyai penyelesaian ditunjukkan oleh $\cdots \cdot$ A. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$ B. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =45 \\ 6x-3y+12z & = 60 \end{cases}$ C. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x+3y+12z & = 45 \end{cases}$ D. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$ E. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 2x+y-4z & = 15 \end{cases}$ Pembahasan Analisis SPLTV pada pilihan A $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+2z& =15 && \cdots 2 \\ 2x-y+4z & = 15 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1$ dan $3$ sebenarnya ekuivalen sehingga SPLTV tersebut hanya memuat $2$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian. Analisis SPLTV pada pilihan B $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =45 \\ 6x-3y+12z & = 60 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+2z& =22,5 && \cdots 2 \\ 2x-y+4z & = 20 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1$ dan $3$ tidak akan mungkin terpenuhi perhatikan perbedaan konstantanya sehingga SPLTV tersebut tidak memiliki penyelesaian. Analisis SPLTV pada pilihan C $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x+3y+12z & = 45 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+4z& =15 && \cdots 2 \\ 2x+y+4z & = 15 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1$ dan $2$ ekuivalen sehingga SPLTV tersebut sebenarnya hanya memuat $2$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian. Analisis SPLTV pada pilihan D $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+4z& =15 && \cdots 2 \\ 2x-y+4z & = 15 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1, 2$, dan $3$ ekuivalen sehingga SPLTV tersebut sebenarnya hanya memuat $1$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian. Analisis SPLTV pada pilihan E $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 2x+y-4z & = 15 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+4z& =15 && \cdots 2 \\ 2x+y-4z & = 15 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1$ dan $2$ ekuivalen sehingga SPLTV tersebut sebenarnya hanya memuat $2$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 3 Diketahui sistem persamaan linear $\begin{cases} x+y-z & =-3 \\ x+2y+z & =7 \\ 2x+y+z & = 4 \end{cases}$ Nilai dari $x+y+z= \cdots \cdot$ A. $3$ C. $5$ E. $8$ B. $4$ D. $6$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} x+y-z & =-3 && \cdots 1 \\ x+2y+z & =7 && \cdots 2 \\ 2x+y+z & = 4 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $z$ dari persamaan $1$ dan $2.$ $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+y-z & = -3 \\ x+2y+z& = 7 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{ + \\ \! \begin{aligned}~\color{blue}{2x+3y = 4~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $z$ dari persamaan $2$ dan $3.$ $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+2y+z & = 7 \\ 2x+y+z & = 4 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{ – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{-x+y = 3~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Selanjutnya, eliminasi $x$ dari persamaan $4$ dan $5$ untuk mendapatkan nilai $y$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 4 \\ -x+y & = 3 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~2x+3y& = 4 \\ -2x+2y & = 6 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} 5y & = 10 \\ y & = 2 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $y = 2$ pada persamaan $5$ untuk memperoleh $-x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = -1.$ Terakhir, substitusi $x=-1$ dan $y=2$ pada persamaan $1 x+y-z=-3$ untuk mendapatkan $-1+2-z=-3 \Leftrightarrow z = 4.$ Jadi, nilai dari $\boxed{x+y+z=-1+2+4=5}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 4 Jika $\{x_0, y_0, z_0\}$ memenuhi sistem persamaan $\begin{cases} 3x-2y-3z & =5 \\ x+y-2z & =3 \\ x-y+z & =-4 \end{cases}$, maka nilai $z_0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-3$ C. $-1$ E. $5$ B. $-2$ D. $4$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} 3x-2y-3z & =5 && \cdots 1 \\ x+y-2z & =3 && \cdots 2 \\ x-y+z & =-4 && \cdots 3 \end{cases}$ Persamaan $3$ dapat ditulis menjadi $x = -4+y-z.$ Substitusikan pada persamaan $1$ terlebih dahulu. $$\begin{aligned} 3\color{red}{x}-2y-3z & = 5 \\ 3\color{red}{-4+y-z}-2y-3z & = 5 \\ -12+3y-3z-2y-3z & = 5 \\ y-6z & = 17 && \cdots 4 \end{aligned}$$Selanjutnya, substitusikan pada persamaan $2$. $\begin{aligned} \color{red}{x}+y-2z & = 3 \\ \color{red}{-4+y-z}+y-2z & = 3 \\ 2y-3z & = 7 && \cdots 5 \end{aligned}$ Eliminasi $y$ dari persamaan $4$ dan $5$ untuk menentukan nilai $z$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} y-6z & = 17 \\ 2y-3z & = 7 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~2y-12z& = 34 \\ 2y-3z & = 7 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} -9z & = 27 \\ z & = -3 \end{aligned} \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{z_0 = -3}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 5 Diberikan sistem persamaan berikut. $\begin{cases} x+y+z & =1 \\ 2x-y-z & = -5 \\ 2x-2y-z & = 7 \end{cases}$ Nilai $x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-2$ D. $\dfrac23$ B. $-\dfrac43$ E. $\dfrac43$ C. $-\dfrac23$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} x+y+z & =1 && \cdots 1 \\ 2x-y-z & = -5 && \cdots 2 \\ 2x-2y-z & = 7 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $y$ dan $z$ pada persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+y+z & = 1 \\ 2x-y-z & = -5 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 3x & = -4 \\ x & = -\dfrac43 \end{aligned} \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{x = -\dfrac43}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 6 Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $\begin{cases} x+4y-z & =1 \\ -x+2y+z & =2 \\ 2x+6y+z & =-8 \end{cases}$ adalah $\{x,y,z\}$. Hasil kali $x, y, z$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-9$ C. $-3$ E. $9$ B. $-6$ D. $6$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} x+4y-z & =1 && \cdots 1 \\ -x+2y+z & =2 && \cdots 2 \\ 2x+6y+z & =-8 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $x$ dan $z$ dari persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+4y-z & = 1 \\ -x+2y+z & = 2 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 6y & = 3 \\ y & = \dfrac36 = \dfrac12\end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $y = \dfrac12$ pada persamaan $1 x+4y-z=1$. $\begin{aligned} x+4\left\dfrac12\right-z & = 1 \\ x+2-z&=1 \\ x-z&=-1 && \cdots 4 \end{aligned}$ Substitusi $y = \dfrac12$ pada persamaan $3 2x+6y+z=-8$. $\begin{aligned} 2x+6\left\dfrac12\right+z & = -8 \\ 2x+3+z &=-8 \\ 2x+z&=-11 && \cdots 5 \end{aligned}$ Eliminasi $z$ dari persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-z & = -1 \\ 2x+z & = -11 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 3x & = -12 \\ x & = \dfrac{-12}{3} = -4 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $x = -4$ pada persamaan $4 x-z = -1$ sehingga diperoleh $-4-z = -1 \Leftrightarrow z = -3.$ Jadi, hasil kali dari $x,y,z$ adalah $\boxed{xyz = -4\left\dfrac12\right-3 = 6}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 7 Diketahui $\begin{cases} 2x-5y+3z & =-10 \\ 3x+4y+7z & =-11 \\ 5x+3y+7z & =-8 \end{cases}$ mempunyai penyelesaian $x, y, z$. Hasil kali $x,y,z$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-10$ C. $-2$ E. $6$ B. $-6$ D. $2$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} 2x-5y+3z=-10 & \cdots 1 \\ 3x+4y+7z=-11 & \cdots 2 \\ 5x+3y+7z=-8 & \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $2$ dan $3$ memuat ekspresi $7z$ sehingga variabel $z$ sebaiknya dieliminasi lebih dulu. Eliminasi $z$ dari persamaan $1$ dan $2$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x-5y+3z& = -10 \\ 3x+4y+7z &=-11 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 7 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~14x-35y+21z& = -70\\ 9x+12y+21z & = -33 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{5x-47y= -37~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$$Selanjutnya, eliminasi $z$ dari persamaan $2$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x+4y+7z & = -11 \\ 5x+3y+7z & = -8 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{-2x+y = -3~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $x$ dari persamaan $4$ dan $5$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5x-47y & = -37 \\ -2x+y &=-3 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 5 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~10x-94y& = -74 \\ -10x+5y & = -15 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} -89y & = -89 \\ y & = 1 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 1$ pada persamaan $5 -2x+y=-3$. $-2x+1 = -3 \Leftrightarrow x = 2.$ Substitusikan $x = 2$ dan $y = 1$ pada persamaan $1 2x-5y+3z=-10$. $\begin{aligned} 22-51+3z & = -10 \\ 4-5+3z & = -10 \\ 3z & = -9 \\ z & = -3 \end{aligned}$ Jadi, hasil kali dari $x,y,z$ adalah $\boxed{xyz = 21-3 = -6}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 8 Penyelesaian dari sistem persamaan $\begin{cases} 3x+7y+2z & =8 \\ 4x+2y-5z & =-19 \\ 6y-4z & =14 \end{cases}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x = 5, y = 3$, dan $z = 1$ B. $x = 4, y = -5$, dan $z = 1$ C. $x = -3, y = 4$, dan $z = 1$ D. $x = -5, y = 3$, dan $z = 2$ E. $x = -5, y = 3$, dan $z = 1$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu, lalu sederhanakan persamaan ketiga. $\begin{cases} 3x+7y+2z & =8 && \cdots 1 \\ 4x+2y-5z & =-19 && \cdots 2 \\ 3y-2z & =7 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $x$ dari persamaan $1$ dan persamaan $2.$ $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x+7y+2z & = 8\\ 4x+2y-5z &=-19 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~12x+28y+8z& = 32 \\ 12x+6y-15z & = -57 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{22y + 23z = 89~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$$Selanjutnya, eliminasi $z$ dari persamaan $3$ dan $4.$ $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3y-2z & = 7 \\ 22y+23z & = 89 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 23 \\ \times 2 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~69y-46z & = 161 \\ 44y+46z & = 178 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} 113y & = 339 \\ y & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 3$ pada persamaan $3 3y-2z=7$. $\begin{aligned} 33-2z & = 7 \\ 9-2z & = 7 \\ -2z & = -2 \\ z & = 1 \end{aligned}$ Terakhir, substitusi $y=3$ dan $z = 1$ pada persamaan $1 3x+7y+2z=8$. $\begin{aligned} 3x+73+21 & = 8 \\ 3x + 23 & = 8 \\ 3x & = -15 \\ x & = -5 \end{aligned}$ Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah $x = -5, y = 3$, dan $z = 1$. Jawaban E [collapse] Soal Nomor 9 Perhatikan SPLTV berikut. $$\begin{cases} x+2z & = 3y+2 && \cdots 1 \\ y-z & = -4x-7 && \cdots 2 \\ 3z-2 & = -2x+y-10 && \cdots 3 \end{cases}$$Penyelesaian SPLTV tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $x = 3, y = 3$, dan $z=6$ B. $x = 1, y = 3$, dan $z=-6$ C. $x = 1, y = -3$, dan $z=6$ D. $x = -1, y = 3$, dan $z=6$ E. $x = -1, y = -3$, dan $z=-6$ Pembahasan Ubah bentuk setiap persamaan dari sistem tersebut menjadi bentuk umum. $\begin{cases} x-3y+2z & = 2 && \cdots 1 \\ 4x+y-z & = -7 && \cdots 2 \\ 2x+2y+3z& = 22 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $z$ dari persamaan $1$ dan $2$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-3y+2z & = 2 \\ 4x+y-z & = -7 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~x-3y+2z& = 2 \\~8x+2y-2z & = -14 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{9x-y = -12~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $z$ dari persamaan $2$ dan $3$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4x+y-z & = -7 \\ 2x+2y+3z & = 22 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~12x+3y-3z & = -21 \\ 2x+2y+3z & = 22 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{14x+5y = 1~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $y$ dari persamaan $4$ dan $5$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 9x-y & = -12 \\ 14x+5y & = 1 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 5 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~45x-5y & = -60 \\ 14x+5y & = 1 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} 59x & = -59 \\ x & = -1 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $x = -1$ pada persamaan $4$. $\begin{aligned} 9x-y & = -12 \\ \Rightarrow 9-1-y & = -12 \\ -y & = -3 \\ y & = 3 \end{aligned}$ Substitusi $x = -1$ dan $y=3$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} x-3y+2z & = 2 \\ \Rightarrow -1-33+2z & = 2 \\ -10+2z & = 2 \\ 2z & = 12 \\ z & = 6 \end{aligned}$ Jadi, penyelesaian dari sistem tersebut adalah $\boxed{x = -1, y = 3, z = 6}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 10 Diketahui sistem persamaan linear $\begin{cases} x+2y+z & =6 \\ x+3y+2z & =9 \\ 2x+y+2z & =12 \end{cases}$ Nilai dari $x+y+z = \cdots \cdot$ A. $3$ C. $6$ E. $9$ B. $4$ D. $8$ Pembahasan Tanpa perlu mencari nilai $x, y, z$ masing-masing, kita dapat menentukan nilai dari $x+y+z$. Diberikan SPLTV berikut. $\begin{cases} x+2y+z & =6 && \cdots 1 \\ x+3y+2z & =9 && \cdots 2 \\ 2x+y+2z & =12 && \cdots 3 \end{cases}$ Jumlahkan ekspresi pada persamaan $1$ dan $3$, $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+2y+z & = 6 \\ 2x+y+2z & = 12 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 3x+3y+3z & = 18 \\ x+y+z & = 6\end{aligned} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{x+y+z=6}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 11 Perhatikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut. $$\begin{cases} x+5y+2z & = -a-b-c && \cdots 1 \\ 3x-y+4z&=5a+b && \cdots 2 \\ 2x+y+5z & = 6a+1 && \cdots 3 \end{cases}$$Jika himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{-2, -3, 4\}$, maka nilai $2a+b+3c = \cdots \cdot$ A. $9$ C. $17$ E. $24$ B. $15$ D. $19$ Pembahasan Diketahui $x, y, z = -2, -3, 4$ merupakan penyelesaian SPLTV tersebut. Substitusi nilai-nilai $x, y, z$ ini pada persamaan $3$. $\begin{aligned} 2x+y+5z & = 6a + 1 \\ 2-2 + -3 + 54 & = 6a+1 \\ -4+-3+20 & = 6a+1 \\ 12 & = 6a \\ a & = 2 \end{aligned}$ Substitusi nilai $x, y, z = -2, -3, 4$ dan $a = 2$ pada persamaan $2$. $\begin{aligned} 3x-y+4z&=5a+b \\ 3-2-3+44 & = 52+b \\ -6+3+16 & = 10+b \\ b & = 3 \end{aligned}$ Substitusikan nilai $x, y, z = -2, -3, 4$, $a = 2$, dan $b = 3$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} x+5y+2z & = -a-b-c \\ -2+5-3+24 & = -2-3-c \\ -2-15+8 & = -5-c \\ -9 & = -5-c \\ c & = 4 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{2a+b+3c = 22+3+34 = 19}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 12 Perhatikan SPLTV berikut. $\begin{cases} 2x+5y+3z & = 9 && \cdots 1 \\ 4x+10y+6z & = d_2 && \cdots 2 \\ 6x+15y+9z & = d_3 && \cdots 3 \end{cases}$ Agar SPLTV tersebut mempunyai banyak penyelesaian, nilai $d_2$ dan $d_3$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$ A. $18$ dan $20$ D. $27$ dan $36$ B. $18$ dan $24$ E. $27$ dan $45$ C. $18$ dan $27$ Pembahasan Jika diketahui SPLTV $$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{cases}$$memiliki banyak penyelesaian, maka $\dfrac{a_i}{a_j} = \dfrac{b_i}{b_j} = \dfrac{c_i}{c_j} = \dfrac{d_i}{d_j}$, dengan $i = 1, 2, 3$ dan $j = 1, 2, 3.$ Dengan meninjau persamaan $2$ dan $3$, diperoleh $$\begin{aligned} \dfrac46 & = \dfrac{10}{15} = \dfrac69 = \dfrac{d_2}{d_3} \\ \dfrac{d_2}{d_3} & = \dfrac23 \end{aligned}$$Ini menunjukkan bahwa nilai $d_2$ dan $d_3$ yang mungkin harus memiliki perbandingan $2 3$. Salah satunya adalah $d_2 = 18$ dan $d_3 = 27$, sebab $18 27 = 2 3.$ Jawaban C [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Soal Nomor 13 Perhatikan sistem persamaan linear berikut. $\begin{cases} ax+y+2z & = 5 && \cdots 1 \\ bx-y+3z & = 3 && \cdots 2 \\ cx-y+z & = -1 && \cdots 3 \end{cases}$ Jika $a+b=7$ dan $a+c=5$, maka nilai $12x+8z=\cdots \cdot$ A. $8$ C. $12$ E. $18$ B. $10$ D. $16$ Pembahasan Eliminasi $y$ dari persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} ax+y+2z & = 5 \\ bx-y+3z & = 3 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} a+bx+5z & = 8 \end{aligned} \end{aligned}$ Karena diketahui $a + b = 7$, maka diperoleh persamaan $4 7x+5z=8$. Eliminasi $y$ dari persamaan $1$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} ax+y+2z & = 5 \\ cx-y+z & = -1 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} a+cx+3z & = 4 \end{aligned} \end{aligned}$ Karena diketahui $a + c = 5$, maka diperoleh persamaan $5 5x+3z=4$. Selanjutnya, jumlahkan ekspresi pada persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 7x +5z & = 8 \\ 5x+3z & = 4 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 12x+8z & = 12 \end{aligned} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{12x+8z=12}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 14 Diketahui sistem persamaan $\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} & = 2 \\ \dfrac{2}{y} -\dfrac{1}{z} & = -3 \\ \dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{z} & = 2 \end{cases}$ Nilai $x+y+z=\cdots \cdot$ A. $3$ C. $1$ E. $\dfrac13$ B. $2$ D. $\dfrac12$ Pembahasan Misalkan $a = \dfrac{1}{x}, b = \dfrac{1}{y}$, dan $c = \dfrac{1}{z}$ sehingga terbentuk sistem persamaan linear tiga variabel berikut. $\begin{cases} a + b & = 2 && \cdots 1 \\ 2b-c & = -3 && \cdots 2 \\ a-c & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $a$ dari persamaan $1$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} a + b & = 2 \\ a-c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{b+c = 0~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $c$ dari persamaan $2$ dan $4$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2b-c & = -3 \\ b+c & = 0 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned}3b & = -3 \\ b & = -1 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusikan $b=-1$ pada persamaan $4 b+c = 0$ untuk memperoleh $-1 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1$ Substitusikan $b=-1$ pada persamaan $1 a+b=2$ untuk memperoleh $a+-1=2 \Leftrightarrow a = 3$ Dengan demikian, $\begin{aligned} x + y + z & = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \\ & = \dfrac13 + \cancel{\dfrac{1}{-1} + \dfrac{1}{1}} \\ & = \dfrac13 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{x+y+z=\dfrac13}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 15 Diketahui sistem persamaan tiga variabel berikut. $$\begin{cases} \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{2}{y-3} + \dfrac{3}{z+2} & = 2 && \cdots 1 \\ \dfrac{-4}{x+1} + \dfrac{1}{y-3} + \dfrac{6}{z+2} & = 5 && \cdots 2 \\ \dfrac{4}{x+1} + \dfrac{3}{y-3} + \dfrac{3}{z+2} & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$$Himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $\{-3, 4, 1\}$ B. $\{-3, 1,2\}$ C. $\{-2,1,1\}$ D. $\left\{\left-\dfrac12, 1, 3\right\right\}$ E. $\left\{\left-\dfrac12, 2, 1\right\right\}$ Pembahasan Misalkan $a = \dfrac{1}{x+1}$, $b = \dfrac{1}{y-3}$, dan $c = \dfrac{1}{z+2}$ sehingga setiap persamaan dari sistem di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan linear tiga variabel. $\begin{cases} 2a + 2b + 3c & = 2 && \cdots 1 \\ -4a + b + 6c & = 5 && \cdots 2 \\ 4a + 3b + 3c & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $c$ dari persamaan $1$ dan $2$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2a+2b+3c & = 2 \\ -4a+b+6c & = 5 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~4a+4b+6c& = 4 \\ -4a+b+6c & = 5 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{8a + 3b = -1~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $c$ dari persamaan $3$ dan $1$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4a+3b+3c & = 2 \\ 2a+2b+3c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{2a+b = 0~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $b$ dari persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 8a+3b & = -1 \\ 2a+b & = 0 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~8a+3b& = -1 \\ 6a+3b & = 0 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} 2a & = -1 \\ a & = -\dfrac12 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $a = -\dfrac12$ pada persamaan $5$. $\begin{aligned} 2a+b & = 0 \\ \Rightarrow 2\left-\dfrac12\right + b & = 0 \\ -1 + b & = 0 \\ b & = 1 \end{aligned}$ Substitusi $a = -\dfrac12$ dan $b=1$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} 2a + 2b + 3c & = 2 \\ \Rightarrow 2\left-\dfrac12\right + 21 + 3c & = 2 \\ -1 + 2 + 3c & = 2 \\ 3c & = 1 \\ c & = \dfrac13 \end{aligned}$ Dengan demikian, akan ditentukan nilai dari $x, y, z$ dengan mensubstitusikan nilai $a, b, c$ yang telah didapat. $$\begin{aligned} a & = \dfrac{1}{x+1} \Rightarrow -\dfrac12 = \dfrac{1}{x+1} \Leftrightarrow -2 = x + 1 \Leftrightarrow x = -3 \\ b & = \dfrac{1}{y-3} \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{y-3} \Leftrightarrow 1 = y-3 \Leftrightarrow y = 4 \\ c & = \dfrac{1}{z+2} \Rightarrow \dfrac13 = \dfrac{1}{z+2} \Leftrightarrow 3 = z+2 \Leftrightarrow z = 1 \end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{-3, 4, 1\}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 16 Diketahui $x y = 5 3$, sedangkan $y z = 4 5$. Jika $2x+y+z=94$, maka nilai $3y = \cdots \cdot$ A. $12$ C. $20$ E. $45$ B. $15$ D. $36$ Pembahasan Karena $x y = 5 3 = 20 12$ dan $y z = 4 5 = 12 15$, maka $x y z = 20 12 15$. Diketahui $2x+y+z=94 \Leftrightarrow x+y+z=47.$ Dengan demikian $\begin{aligned} y & = \dfrac{12}{20+12+15} \times 47 \\ & = \dfrac{12}{\cancel{47}} \times \cancel{47} = 12 \end{aligned}$ Untuk itu, nilai dari $\boxed{3y = 312 = 36}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 17 Jika $x y z = 2 1 3$ dan $x+y-2z=-6$, maka nilai $x-y+z=\cdots \cdot$ A. $8$ C. $6$ E. $4$ B. $7$ D. $5$ Pembahasan Dari perbandingan $x y z = 2 1 3$, diketahui bahwa $x = 2y$ dan $z = 3y$. Substitusikan pada persamaan $x+y-2z=-6$ untuk memperoleh $\begin{aligned} 2y+y-23y & = -6 \\ 2y+y-6y & = -6 \\ -3y & = -6 \\ y & = 2 \end{aligned}$ Dengan demikian, $x = 2y = 22 = 4$ dan $z = 3y = 32 = 6$. Jadi, nilai dari $\boxed{x-y+z=4-2+6=8}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 18 Diketahui sistem persamaan berikut. $\begin{cases} x^2+y^2+z^2 & = 6 && \cdots 1 \\ x^2-y^2+2z^2 & = 2 && \cdots 2 \\ 2x^2+y^2-z^2 & = 3 && \cdots 3 \end{cases}$ Salah satu penyelesaian yang memenuhi sistem persamaan di atas adalah $\cdots \cdot$ A. $x=-1, y = \sqrt2, z = \sqrt3$ B. $x=-1, y = \sqrt3, z = \sqrt2$ C. $x=1, y = \sqrt2, z = \sqrt3$ D. $x=\sqrt2, y = \sqrt3, z = \sqrt2$ E. $x=\sqrt2, y = 1, z = \sqrt3$ Pembahasan Misalkan $a = x^2$, $b = y^2$, dan $c = z^2$ sehingga setiap persamaan dari sistem di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan linear tiga variabel. $\begin{cases} a+b+c & = 6 && \cdots 1 \\ a-b+2c & = 2 && \cdots 2 \\ 2a+b-c & = 3 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $b$ dari persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} a+b+c & = 6 \\ a-b+2c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{2a+3c = 8~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $b$ dari persamaan $2$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} a-b+2c & = 2 \\ 2a+b-c & = 3 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{3a+c = 5~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $c$ dari persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2a+3c & = 8 \\ 3a+c & = 5 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~2a+3c& = 8 \\ 9a+3c & = 15 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} -7a & = -7 \\ a & = 1 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $a=1$ pada persamaan $5 3a + c = 5$. $\begin{aligned} 31 + c & = 5 \\ c & = 2 \end{aligned}$ Substitusi $a = 1$ dan $c = 2$ pada persamaan $1 a+b+c = 6$ $\begin{aligned} 1+b+2 & = 6 \\ b & = 3 \end{aligned}$ Dengan demikian, akan ditentukan nilai dari $x, y, z$ dengan mensubstitusikan nilai $a, b, c$ yang telah didapat. $\begin{aligned} a & = x^2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \\ b & = y^2 \Rightarrow y^2 = 3 \Rightarrow y = \pm \sqrt3 \\ c & = z^2 \Rightarrow z^2 = 2 \Rightarrow z = \pm \sqrt2 \end{aligned}$ Jadi, salah satu himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{-1, \sqrt3, \sqrt2\}.$ Jawaban B [collapse] Baca Materi, Soal, dan Pembahasan – Aturan Cramer Soal Nomor 19 Diberikan sistem persamaan linear berikut. $\begin{cases} x+2y-3z & =4 \\ 3x-y+5z & =2 \\ 4x+y+a^2-14z & = a+2 \end{cases}$ Sistem di atas tidak memiliki solusi untuk $a = \cdots \cdot$ A. $-4$ atau $4$ D. $-1$ atau $1$ B. $-3$ atau $3$ E. $-4$ saja C. $-2$ atau $2$ Pembahasan Diketahui $$\begin{cases} x+2y-3z & =4 && \cdots 1 \\ 3x-y+5z & =2 && \cdots 2 \\ 4x+y+a^2-14z & = a+2 && \cdots 3 \end{cases}$$Matriks koefisien dari SPLTV tersebut adalah $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 4 & 1 & a^2-14 \end{pmatrix}.$ Sistem di atas tidak akan memiliki solusi jika dan hanya jika determinan matriks koefisiennya bernilai $0$. Untuk itu, kita peroleh $$\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 4 & 1 & a^2-14 \end{pmatrix} & = 0 \\ \text{Gunakan Aturan Sarrus} & \\ -a^2-14+40-9-12+5+6a^2-84 & = 0 \\ -7a^2 + 112 & = 0 \\ a^2 -16 & = 0 \\ a+4a-4 & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $a = -4$ atau $a = 4.$ Namun, perlu diperiksa bahwa $a = 4$ membuat persamaan $3$ menjadi $4x + y + 2z = 6$ dan persamaan ini setara dengan menjumlahkan persamaan $1$ dan $2$ sehingga kita simpulkan bahwa $a = 4$ akan membuat sistem memiliki banyak solusi. Jadi, nilai $a$ yang membuat sistem tidak memiliki solusi hanya $\boxed{a = -4}$ Jawaban E [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Diberikan sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV berikut. $$\begin{cases} x-2y-2z & = 1 \\ 3x-y + z & = -1 \\ 2x+y-z & = 6 \end{cases}$$Dari beberapa pilihan nilai pasangan terurut $x, y, z$ berikut, manakah yang menjadi penyelesaian dari SPLTV di atas dan manakah yang bukan? Tuliskan alasannya masing-masing. a. $x, y, z = 1, -2, -2$ b. $x, y, z = -1, 2, -2$ c. $x, y, z = 1, 2, -2$ d. $x, y, z = -1, -2, 2$ Pembahasan Namai setiap persamaan pada SPLTV yang diberikan. $$\begin{cases} x-2y-2z & = 1 && \cdots 1 \\ 3x-y + z & = -1 && \cdots 2 \\ 2x+y-z & = 6 && \cdots 3 \end{cases}$$Pasangan terurut $x, y, z$ dikatakan sebagai penyelesaian dari SPLTV jika ketiga nilai variabel tersebut memenuhi ketiga persamaan pada SPLTV secara sekaligus ketika disubstitusikan. Jawaban a $x, y, z = 1, -2, -2$ bukan merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena tidak memenuhi setidaknya salah satu persamaan, yaitu persamaan $1.$ $$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow 1-2-2-2-2 & = 1 \\ 9 & = 1 && \text{salah} \end{aligned}$$Jawaban b $x, y, z = -1, 2, -2$ bukan merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena tidak memenuhi setidaknya salah satu persamaan, yaitu persamaan $1.$ $$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow -1-22-2-2 & = 1 \\ -1-4 + 4 & = 1 \\ -1 & = 1 && \text{salah} \end{aligned}$$Jawaban c $x, y, z = 1, 2, -2$ merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena memenuhi semua persamaan pada SPLTV tersebut secara sekaligus. Cara memeriksanya adalah dengan menyubstitusikan nilai $x, y, z$ masing-masing pada ketiga persamaan dan lihat apakah persamaan tersebut nantinya bernilai benar/salah. Persamaan $1$ $$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow 1-22-2-2 & = 1 \\ 1-4+4 & = 1 \\ 1 & = 1 && \text{benar} \end{aligned}$$Persamaan $2$ $$\begin{aligned} 3x-y + z & = -1 \\ \Rightarrow 31-2+-2 & = -1 \\ 3-2-2 & = -1 \\ -1 & = -1 && \text{benar} \end{aligned}$$Persamaan $3$ $$\begin{aligned} 2x+y-z & = 6 \\ \Rightarrow 21 + 2-2 & = 6 \\ 2+2+2 & = 6 \\ 6 & = 6 && \text{benar} \end{aligned}$$Jawaban d $x, y, z = -1, -2, 2$ bukan merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena tidak memenuhi setidaknya salah satu persamaan, yaitu persamaan $1.$ $$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow -1-2-2-22 & = 1 \\ -1 + 4-4 & = 1 \\ -1 & = 1 && \text{salah} \end{aligned}$$ [collapse] Soal Nomor 2 Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut. $\begin{cases} \dfrac{2x-y}{5} & = z+1 && \cdots 1 \\ 3x+2 & = y+2z && \cdots 2 \\ \dfrac{5x+2z}{3} & = -\dfrac{y+9}{4} && \cdots 3 \end{cases}$ Pembahasan Ubah setiap persamaan dalam sistem menjadi bentuk umum persamaan linear dan hindari bentuk pecahan guna mempermudah perhitungan. Pada persamaan $1$, $\begin{aligned} \dfrac{2x-y}{5} & = z+1 \\ 2x-y & = 5z + 5 \\ 2x-y-5z & = 5 \end{aligned}$ Pada persamaan $2$, $\begin{aligned} 3x+2 & = y+2z \\ 3x-y-2z & = -2 \end{aligned}$ Pada persamaan $3$, $\begin{aligned} \dfrac{5x+2z}{3} & = -\dfrac{y+9}{4} \\ 45x+2z & = -3y+9 \\ 20x+8z & = -3y-27 \\ 20x+3y+8z & = -27 \end{aligned}$ Sekarang, dapat kita tuliskan SPLTV berikut. $\begin{cases} 2x-y-5z & = 5 && \cdots 1 \\ 3x-y-2z & = -2 && \cdots 2 \\ 20x+3y+8z & = -27 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $y$ pada persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x-y-5z & = 5 \\ 3x-y-2z & = -2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{-x-3z = 7~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $y$ pada persamaan $2$ dan $3$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x-y-2z & = -2 \\ 20x+3y+8z & = -27 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~9x-3y-6z& = -6 \\~20x+3y+8z & = -27 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{29x+2z = -33~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $z$ dari persamaan $4$ dan $5$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -x-3z & = 7 \\ 29x+2z & = -33 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned} -2x-6z & = 14 \\ 87x+6z & = -99 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} 85x & = -85 \\ x & = -1 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusikan $x = -1$ pada persamaan $4$. $\begin{aligned} -x-3z & = 7 \\ \Rightarrow -1-3z & = 7 \\ -3z & = 6 \\ z & = -2 \end{aligned}$ Substitusikan $x = -1$ dan $z = -2$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} 2x-y-5z & = 5 \\ \Rightarrow 2-1-y-5-2 & = 5 \\ -2-y+10 & = 5 \\ -y & = -3 \\ y & = 3 \end{aligned}$ Jadi, penyelesaian sistem tersebut adalah $\boxed{x,y,z = -1, 3, -2}$ [collapse] Soal Nomor 3 Diketahui sistem persamaan tiga variabel berikut. $$\begin{cases} -\dfrac{4}{x+2} + \dfrac{4}{y+1} + \dfrac{9}{z-1} & = -6 && \cdots 1 \\ \dfrac{8}{x+2}- \dfrac{6}{y+1} + \dfrac{3}{z-1} & = 4 && \cdots 2 \\ \dfrac{4}{x+2} + \dfrac{2}{y+1}- \dfrac{6}{z-1} & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$$ a. Tentukan HP SPLTV tersebut. b. Tentukan nilai $5x-y-2z$. Pembahasan Jawaban a Misalkan $a = \dfrac{1}{x+2}$, $b = \dfrac{1}{y+1}$, dan $c = \dfrac{1}{z-1}$ sehingga setiap persamaan dari sistem di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan linear tiga variabel. $\begin{cases} -4a+4b+9c & = -6 && \cdots 1 \\ 8a-6b+3c& = 4 && \cdots 2 \\ 4a+2b-6c & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $a$ dari persamaan $1$ dan $2$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -4a+4b+9c & = -6 \\ 8a-6b+3c & = 4 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned} -8a+8b+18c & = -12 \\ 8a-6b+3c & = 4 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{2b+21c = -8~~~\cdots 4}\end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $a$ dari persamaan $1$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} -4a+4b+9c & = -6 \\ 4a+2b-6c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{6b+3c = -4~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $b$ dari persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2b+21c & = -8 \\ 6b+3c & = -4 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~6b+63c& = -24 \\ 6b+3c & = -4 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} 60c & = -20 \\ c & = -\dfrac13 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $c = -\dfrac13$ pada persamaan $5$. $\begin{aligned} 6b + 3c & = -4 \\ \Rightarrow 6b + 3\left-\dfrac13\right & = -4 \\ 6b-1& = -4 \\ 6b & = -3 \\ b & = -\dfrac12 \end{aligned}$ Substitusi $b = -\dfrac12$ dan $c = -\dfrac13$ pada persamaan $3$. $$\begin{aligned} 4a+2b-6c & = 2 \\ 2a + b-3c & = 1 && \text{Bagi}~2 \\ \Rightarrow 2a+\left-\dfrac12\right-3\left-\dfrac13\right & = 1 \\ 2a-\dfrac12+1 & = 1 \\ 2a & = \dfrac12 \\ a & = \dfrac14 \end{aligned}$$Dengan demikian, akan ditentukan nilai dari $x, y, z$ dengan mensubstitusikan nilai $a, b, c$ yang telah didapat. $$\begin{aligned} a &= \dfrac{1}{x+2} \Rightarrow \dfrac14 = \dfrac{1}{x+2} \Leftrightarrow 4 = x + 2 \Leftrightarrow x = 2 \\ b &= \dfrac{1}{y+1} \Rightarrow -\dfrac12 = \dfrac{1}{y+1} \Leftrightarrow -2 = y+1 \Leftrightarrow y = -3 \\ c & = \dfrac{1}{z-1} \Rightarrow -\dfrac13 = \dfrac{1}{z-1} \Leftrightarrow -3 = z-1 \Leftrightarrow z = -2 \end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{2, -3, -2\}$ Jawaban b Substitusi $x, y, z = 2, -3, -2$ pada ekspresi $5x-y-2z$ untuk memperoleh $$\boxed{52-3-2-2 = 10+3+4 = 17}$$ [collapse] Soal Nomor 4 Diketahui segitiga $KLM$ dengan panjang sisi yang membentuk SPLTV berikut. $\begin{cases} 2KL-LM & = 17~\text{cm} && \cdots 1 \\ LM+2KM & = 73~\text{cm} && \cdots 2 \\ KL+\dfrac{KM}{5} & = 25~\text{cm} && \cdots 3 \end{cases}$ Tentukan a. panjang $KM$; b. panjang $KL$; c. keliling segitiga $KLM$. Pembahasan Pertama-tama, kalikan $5$ di kedua ruas pada persamaan $3$ untuk menghindari bentuk pecahan. $$\begin{cases} 2KL-LM & = 17~\text{cm} && \cdots 1 \\ LM+2KM & = 73~\text{cm} && \cdots 2 \\ 5KL+KM & = 125~\text{cm} && \cdots 3 \end{cases}$$Eliminasi $LM$ dari persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2KL-LM & = 17 \\ LM+2KM & = 73 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 2KL+2KM & = 90 \\ KL + KM & = 45~~~~\cdots 4 \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $KM$ dari persamaan $3$ dan $4$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5KL+KM & = 125 \\ KL+KM & = 45 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ – \\ \! \begin{aligned} 4KL & = 80 \\ KL & = 20~\text{cm} \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $KL = 20~\text{cm}$ pada persamaan $4$. $\begin{aligned} KL + KM & = 45 \\ 20 + KM & = 45 \\ KM & = 25~\text{cm} \end{aligned}$ Substitusi $KL = 20~\text{cm}$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} 2KL-LM & = 17 \\ 220-LM & = 17 \\ LM & = 23~\text{cm} \end{aligned}$ Jawaban a Panjang sisi $KM$ adalah $\boxed{25~\text{cm}}$ Jawaban b Panjang sisi $KL$ adalah $\boxed{20~\text{cm}}$ Jawaban c Keliling segitiga $KLM$ dapat ditentukan dengan menjumlahkan semua paniang sisinya, yaitu $\begin{aligned} k & = KL + KM + LM \\ & = 20+25+23 = 68~\text{cm}. \end{aligned}$ [collapse]
1) x + y = 6 (2) Seperti sudah dijelaskan sebelumnya, sistem persamaan linear bisa diselesaikan dengan berbagai metode. Berikut ini adalah penyelesaian sistem persamaan linear pada contoh di atas dengan menggunakan beberapa metode. Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode grafik
Halo! Apa kabar semuanya? Semoga selalu dalam keadaan baik-baik saja ya! Di kesempatan kali ini kita akan melanjutkan materi Matematika kelas 10 bab 2 mengenai sistem persamaan linear tiga variabel. Apakah kamu sudah siap? Jangan lupa buka buku tulismu, siapkan pensil, dan buku ajar Matematika keluaran Kemdikbud. Oke, langsung simak ulasan di bawah ini ya! Bab 2 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Cheerful Indian Boy/Student with Mathematics Problems Menyusun dan Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Definisi Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linear dengan tiga variabel. Contoh Diketahui tiga persamaan 1/x + 1/y + 1/z = 2, 2p + 3q – r = 6, dan p + 3q = 3. Ketiga persamaan ini tidak membentuk sistem persamaan linear tiga variabel, sebab persamaan 1 /x + 1/y + 1/z = 2 bukan persamaan linear. Jika persamaan 1/x + 1/y + 1/z = 2 diselesaikan, diperoleh persamaan zx + y + xy = 2xyz yang tidak linear. Alasan kedua adalah variabel-variabelnya tidak saling terkait. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Perbedaan antara sistem persamaan linear dua variabel SPLDV dengan sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV terletak pada banyak persamaan dan variabel yang digunakan. Oleh karena itu, penentuan himpunan penyelesaian SPLTV dilakukan dengan cara atau metode yang sama dengan penentuan penyelesaian SPLDV, kecuali dengan metode grafik. Umumnya penyelesaian sistem persamaan linear tiga variable diselesaikan dengan metode eliminasi dan substitusi. Definisi Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dengan tiga variable adalah suatu himpunan semua triple terurut x, y, z yang memenuhi setiap persamaan linear pada sistem persamaan tersebut. Contoh Jumlah tiga bilangan sama dengan 45. Bilangan pertama ditambah 4 sama dengan bilangan kedua, dan bilangan ketiga dikurangi 17 sama dengan bilangan pertama. Tentukan masing-masing bilangan tersebut. Alternatif Penyelesaian Misalkan x = bilangan pertama y = bilangan kedua z = bilangan ketiga Berdasarkan informasi pada soal diperoleh persamaan sebagai berikut. x + y + z = 45 x + 4 = y z – 17 = x Ditanyakan Bilangan x, y, dan z. Kamu dapat melakukan proses eliminasi pada persamaan dan sehingga diperoleh Selain metode eliminasi, substitusi, dan campuran antara eliminasi dan substitusi kamu dapat mencoba sendiri, terdapat cara lain untuk menyelesaikan suatu SPLTV, yaitu dengan cara determinan dan menggunakan invers matriks. Namun, pada bab ini metode ini tidak dikaji. Sekarang kita akan menemukan penyelesaian SPLTV dengan metode lain. Kita menententukan himpunan penyelesaian SPLTV secara umum berdasarkan konsep dan bentuk umum SPLTV yang telah ditemukan dengan mengikuti langkah penyelesaian metode eliminasi di atas untuk menemukan cara baru. Perhatikan bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z adalah sebagai berikut. Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z adalah Lakukan kegiatan matematisasi mengkoordinasi pengetahuan dan keterampilan yang telah dimiliki siswa sebelumnya untuk menemukan aturan-aturan, hubungan-hubungan, dan struktur-struktur yang belum diketahui. Nilai variabel z di atas dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian koefisienkoefisien variabel x, y, dan konstanta pada sistem persamaan linear yang diketahui. Dengan menggunakan cara menentukan nilai z, ditentukan nilai x dan y dengan cara berikut. Daftar Pustaka Bornok Sinaga, Pardomuan Sinambela, Andri Kristianto Sitanggang, Tri Andri Hutapea, Sudianto Manulang, Lasker Pengarapan Sinaga, dan Mangara Simanjorang. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MK Kelas X. Jakarta Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud. This post was last modified on April 12, 2023 951 am
ο»Ώ1 Diketahui x + 3y + 2z = 16, 2x + 4y - 2z = 12, dan x + y + 4z = 20. Tentukan nilai x, y, z! Pembahasan: Substitusi x + y + 4z = 20 x = 20 - y - 4z x + 3y + 2z = 16 (20 - y - 4z) + 3y + 2z = 16 2y - 2z + 20 = 16 2y - 2z = 16 - 20 2y - 2z = -4 y - z = -2 2x + 4y - 2z = 12 2 (20 - y - 4z) + 4y - 2z = 12 40 - 2y - 8z + 4y - 2z = 12
- Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV membutuhkan beberapa metode untuk mempermudah dalam menemukan solusi. Metode tersebut di antaranya yaitu determinan dan invers. Simak contoh penyelesaiannya di bawah ini!Soal Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut ini dengan metode determinan dan invers matriks. 2x-y+z=33x-2y+z=24x+y-z=3 Langkah pertama untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah dengan mengubah bentuknya menjadi matriks AX=B. FAUZIYYAH Pendefinisian sistem persamaan linear ke dalam matriks AX=B Baca juga Mendefinisikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV Metode Determinan Pada metode determinan, yang pertama dilakukan adalah mencari determinan dari matriks A D, matriks x Dx, matriks y Dy, dan matriks z Dz. Kemudian hitung himpunan penyelesaiannya dengan membagi masing-masing nilai determinan matriks x,y,z dengan determinan matriks A. Pertama, kita hitung determinan dari matriks A D sebagai berikut FAUZIYYAH Determinan matriks A D Kemudian adalah hitung determinan dari matriks x Dx sebagai berikut FAUZIYYAH Determinan matriks x Dx Baca juga Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel Selanjutnya menghitung determinan dari matriks y Dy sebagai berikut FAUZIYYAH Determinan matriks y Dy Dan yang terakhir adalah menghitung determinan dari matriks z Dz FAUZIYYAH Determinan matriks z Dz Berdasarkan perhitungan yang telah kita lakukan, diperoleh determinan D bernilai 6, determinan Dx bernilai 6, determinan Dy bernilai 12, dan determinan Dz bernilai 18. Kemudian kita hitung penyelesaian x, y, z sebagai berikut FAUZIYYAH Perhitungan nilai x, y, dan z Baca juga Persamaaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel Sehingga diperoleh bahwa himpunan penyelesaian dari SPLTV dengan menggunakan metode determinan adalah {1,2,3}. Metode Invers Pada metode invers, himpunan penyelesaian dari SPLTV diketahui dengan menentukan determinan dari matriks A, kemudian kofaktor dari matriks A, dan adjoin dari matriks A. Pertama, mencari determinan dari A, yang mana telah kita lakukan pada metode determinan, bahwa determinan matriks A bernilai 6. Kemudian menentukan kofaktor A sebagai berikut FAUZIYYAH Penentuan kofaktor matriks A Baca juga Imbalan Hanya Satu Variabel Pendukung, Tak Otomatis Turunkan Kasus Korupsi Kofaktor A digunakan untuk menentukan adjoin, yaitu transpose dari kofaktor A FAUZIYYAH Penentuan adjoin matriks A Sehingga kita dapat menghitung himpunan penyelesaian sebagai berikut FAUZIYYAH Perhitungan nilai x, y, dan z Pada pernyataan di atas diperoleh bahwa himpunan penyelesaian dari SPLTV dengan menggunakan metode invers adalah {1,2,3}. Baca juga Metode Eliminasi dan Substitusi SPLTV Dapatkan update berita pilihan dan breaking news setiap hari dari Mari bergabung di Grup Telegram " News Update", caranya klik link kemudian join. Anda harus install aplikasi Telegram terlebih dulu di ponsel. Diketahuisistem persamaan linear tiga variabel. x+3y-2z= a . (1) 2x-3y+4z= b . (2) 3x-4y+8z= c . (3) Nilai 3x-2y+5z=18. Untuk mencari nilai a+b+c, maka jumlahkan ketiga persamaan tersebut. sehingga diperoleh. Dengan demikian, nilai a + b + c = 36.
Nilai y yang memenuhi sistem persamaan linear adalah - x yang memenuhi adalah PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABELPersamaan linear adalah persamaan dimana pangkat terbesar dari variabelnya adalah satu. Persamaan linear dua variabel adalah persamaan dengan dua variabel yang berpangkat persamaan linear dua variabel SPLDV adalah dua persamaan linear dua variabel dimana nilai kedua variabelnya sama dapat dikerjakan dengan 4 cara, yaitu1. Metode menyelesaikannya dengan menggambar kedua garis, lalu mencari titik potong kedua garis. Metode ini memerlukan gambar yang sangat Metode memisalkan nilai sebuah variabel dengan variabel lainnya, lalu cari nilai sebuah Metode mengeliminasi atau menghilangkan sebuah variabel dengan menyamakan koefisien Metode eliminasi menggunakan gabungan kedua metode, eliminasi lalu - y = 33x - 5y = 13Ditanyakany ?Penjelasanβ€’ Dengan subtitusix - y = 3 β‡’ x = 3 + ySubtitusi ke persamaan - 5y = 133 3 + y - 5y = 139 + 3y - 5y = 13- 2y = 13 - 9- 2y = 4y = 4 Γ· - 2y = - 2Bila mencari x, subtitusi ke persamaan pertamax = 3 + yx = 3 + -2 = 3 - 2 = 1Nilai y yang memenuhi sistem persamaan linear adalah - lebih lanjutSPLDV Grafik Subtitusi Eliminasi Eliminasi Subtitusi JawabanKelas VIIIMapel MatematikaBab Sistem Persamaan Linier Dua Variabel Kode
\n\n \n\n \n diketahui sistem persamaan linear tiga variabel berikut
Sistempersamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan dimana masing-masing persamaan memiliki tiga variabel. Contoh SPLTV dengan variabel dan : dimana dan adalah bilangan-bilangan real. YYPertama kita eliminasi persamaan 1 dan 2 4x - y + 3z = -20 Γƒβ€”3 12x - 3y + 9z = -60 3x + y + 2z = -20 Γƒβ€”4 12x + 4y + 8z = -80 Dikurangi -7y + z = 20...4 Eliminasi persamaan 2 dan 3 3x + y + 2z = -20 Γƒβ€”2 6x + 2y + 4z = -40 2x + 4y + 3z = -25 Γƒβ€”3 6x + 12y + 9z = -75 Dikurangi -10y - 5z = 35... 5 Eliminasi persamaan 4 dan 5 -7y + z = 20 Γƒβ€”5 -35y + 5z = 100 -10y - 5z = 35 Γƒβ€”1 -10y - 5z = 35 Ditambah -45y = 135 y = 135/-45 y = -3 Substitusi nilai y ke persamaan 4 -7y + z = 20 -7Γƒβ€”-3 + z = 20 21 + z = 20 z = 20 - 21 z = -1 Substitusi nilai y dan z ke persamaan 3 2x + 4y + 3z = -25 2x + 4-3 + 3-1 = -25 2x - 15 = -25 2x = -10 x = -5 x = a = -5 y = b = -3 z = c = -1APHalo dek Regina terimakasih sudah bertanya di roboguru perhatikan pembahasan berikut ya dek^^DPpersamaan 1 = 2x+y-3z=5 persamaan 2= 4x-3y+2z=28 persamaan 3= 3x-y+4z=21Yah, akses pembahasan gratismu habisDapatkan akses pembahasan sepuasnya tanpa batas dan bebas iklan!
Bentukumum sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) adalah sebagai berikut. Dengan ketentuan, a, b, c β‰  0. Dari ketiga bentuk umum SPLTV tersebut, kamu hanya akan mendapatkan satu solusi/ penyelesaian untuk setiap variabelnya, yaitu ( x, y, z ).
Hai Quipperian, tahukah kamu jika sistem persamaan linear itu juga berlaku untuk tiga variabel, lho. Mungkin, kamu sudah cukup mahir menyelesaikan sistem persamaan linear satu atau dua variabel. Lalu, bagaimana dengan sistem persamaan linear tiga variabel? Tak perlu khawatir ya, karena di artikel ini, Quipper Blog akan mengajak kamu untuk belajar tentang sistem persamaan linear tiga variabel lengkap dengan metode penyelesaiannya. Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya! Pengertian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Saat membahas persamaan linear, kamu akan bertemu dengan istilah variabel. Istilah ini tentu sudah kamu kenal sejak SMP, kan? Umumnya, variabel dinyatakan dengan x. Lantas, bagaimana dengan tiga variabel? Untuk tiga variabel, biasanya dinyatakan sebagai x, y, dan z. Sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV adalah sistem persamaan yang memuat tiga variabel, yaitu x, y, dan z. Contoh sistem persamaan linear tiga variabel adalah sebagai berikut. Ciri utama suatu persamaan adalah adanya tanda hubung β€œ=”. Dengan adanya tanda itu, nilai bilangan ruas kiri harus sama dengan ruas kanan. Itulah mengapa, kamu harus mencari nilai setiap variabelnya terlebih dahulu. Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV adalah sebagai berikut. Dengan ketentuan, a, b, c β‰  0. Dari ketiga bentuk umum SPLTV tersebut, kamu hanya akan mendapatkan satu solusi/ penyelesaian untuk setiap variabelnya, yaitu x, y, z. Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Untuk menyelesaian SPLTV, kamu bisa menggunakan tiga metode yaitu metode substitusi, metode eliminasi, dan metode gabungan. Apa perbedaan antara ketiga metode tersebut? Metode substitusi Langkah penyelesaian dengan metode substitusi adalah sebagai berikut. Memilih persamaan yang paling sederhana untuk menyatakan salah satu variabel ke dalam bentuk fungsi variabel lainnya, misal variabel x ke dalam fungsi y dan z, atau variabel y ke dalam fungsi x dan z, atau variabel z ke dalam fungsi x dan y. Bentuk fungsi yang diperoleh pada poin a disubstitusikan ke dua persamaan lainnya, sehingga berubah menjadi sistem persamaan linear dua variabel. Lakukan langkah penyelesaian yang sama setelah terbentuk sistem persamaan linear dua variabel. Jika sudah mendapatkan dua nilai variabel, substitusikan keduanya di salah satu persamaan sehingga diperoleh semua penyelesaian variabelnya. Untuk lebih jelasnya, simak contoh berikut ini. Tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi persamaan berikut. Pembahasan Buatlah penomoran pada persamaannya seperti berikut. Mula-mula, pilihlah persamaan yang paling sederhana, misalnya x + y + z = 6. Lalu, nyatakan x pada persamaan 3 dalam fungsi y dan z seperti berikut. Selanjutnya, substitusikan nilai x pada persamaan 4 ke persamaan 1, ya. Selanjutnya, substitusikan nilai x pada persamaan 4 ke persamaan 2, ya. Substitusikan nilai y pada persamaan 5 ke persamaan 6. Substitusikan nilai z = 3 ke persamaan 6. Substitusikan nilai z = 3 dan y = 2 ke persamaan 4. Jadi, nilai x, y, z yang memenuhi adalah 1, 2, 3. Metode eliminasi Langkah penyelesaian metode eliminasi adalah sebagai berikut. Menghilangkan mengeliminasi salah satu variabel dengan menyamakan konstanta variabel yang ingin dieliminasi. Setelah terbentuk SPLDV, lakukan langkah eliminasi yang sama dengan poin a sampai diperoleh nilai salah satu variabel. Lakukan langkah yang sama sampai semua variabel diketahui. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut. Tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi persamaan berikut. Pembahasan Buatlah penomoran seperti pada metode sebelumnya. Lakukan eliminasi antara persamaan 1 dan 2 untuk menghilangkan variabel y. Selanjutnya, lakukan langkah yang sama pada persamaan 2 dan 3. Lakukan eliminasi persamaan 4 dan 5 untuk mencari nilai x. Lakukan eliminasi persamaan 4 dan 5 untuk mencari nilai z. Setelah nilai x dan z diketahui, ulangi langkah eliminasi untuk menentukan nilai y. Lakukan eliminasi antara persamaan 1 dan 2 untuk menghilangkan variabel z. Selanjutnya, lakukan langkah yang sama pada persamaan 2 dan 3. Lakukan eliminasi persamaan 6 dan 7 untuk mencari nilai y. Jadi, nilai x, y, z yang memenuhi adalah -1, 3, 1. Metode gabungan Metode ini merupakan gabungan antara metode substitusi dan eliminasi. Langkah penyelesaian dengan metode gabungan adalah sebagai berikut. Melakukan eliminasi atau menghilangkan salah satu variabel dengan menyamakan konstanta variabel yang akan dieliminasi. Setelah terbentuk sistem persamaan linear dua variabel, lakukan eliminasi seperti langkah a hingga diperoleh nilai salah satu variabel. Substitusikan nilai variabel yang diketahui pada salah satu persamaan linear dua variabelnya hingga diperoleh nilai variabel yang lain. Lakukan langkah yang sama hingga semua variabel diketahui nilainya. Buatlah penomoran seperti pada metode sebelumnya. Lakukan eliminasi antara persamaan 1 dan 2 untuk menghilangkan variabel y. Selanjutnya, lakukan langkah yang sama pada persamaan 2 dan 3. Lakukan eliminasi persamaan 4 dan 5. Substitusikan nilai x = -1 ke persamaan 4. Substitusikan nilai x = -1 dan z = 1 ke persamaan 1. Jadi, nilai x, y, z yang memenuhi adalah -1, 3, 1. Ternyata, hasil yang diperoleh dari metode eliminasi sama dengan metode gabungan. Untuk mempersingkat waktu dalam menyelesaikan soal, sebaiknya gunakan metode gabungan. Penerapan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Penerapan SPLTV dalam kehidupan sehari-hari bisa kamu jumpai saat kamu dan teman-temanmu membeli tiga buah benda yang sama namun jumlahnya berbeda. Adapun penerapannya bisa kamu lihat pada contoh soal berikut. Dina, Feri, dan Kiki sedang berada di toko buah. Mereka membeli tiga jenis buah yang sama, yaitu jeruk, mangga, dan pir. Banyaknya buah yang mereka beli adalah sebagai berikut. Dina membeli 2 kg jeruk, 1 kg mangga, dan 2 kg pir. Feri membeli 1 kg jeruk, 1 kg mangga, dan 1 kg pir. Kiki membeli 3 kg jeruk, 2 kg mangga, dan 1 kg pir. Setelah membayar di kasir, Dina harus membayar Feri harus membayar dan Kiki harus membayar Tentukan harga setiap kg buah tersebut! Pembahasan Untuk mencari harga setiap jenis buah, kamu bisa menggunakan metode substitusi, eliminasi, maupun gabungan. Pada soal ini, Quipper Blog memilih metode gabungan. Mula-mula, kamu harus memisalkan setiap jenis buah ke dalam bentuk variabel. 1 kg jeruk sebagai x 1 kg mangga sebagai y 1 kg pir sebagai z Dengan demikian Lakukan eliminasi antara persamaan 1 dan 2 untuk menghilangkan variabel y. Selanjutnya, lakukan langkah yang sama pada persamaan 2 dan 3. Lakukan eliminasi persamaan 1 dan 2 untuk menghilangkan variabel z. Substitusikan nilai x = ke persamaan 2. Substitusikan nilai x = dan z = ke persamaan 2. Jadi, harga jeruk, mangga, dan pir per kg berturut-turut adalah dan Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Bersama Quipper Video, belajar jadi lebih mudah dan menyenangkan. Salam Quipper! .
  • 2rk6y02wso.pages.dev/252
  • 2rk6y02wso.pages.dev/163
  • 2rk6y02wso.pages.dev/157
  • 2rk6y02wso.pages.dev/77
  • 2rk6y02wso.pages.dev/114
  • 2rk6y02wso.pages.dev/264
  • 2rk6y02wso.pages.dev/169
  • 2rk6y02wso.pages.dev/164

    • diketahui sistem persamaan linear tiga variabel berikut